Les théorèmes mathématiques et géométriques

Bruno, john

Il existe de nombreuses règles et principes mathématiques ; cet article sera consacré à ceux qui servent à déterminer les dimensions et la disposition d’un bâtiment (implantation et mise en forme).

Voici un extrait gratuit du guide de construction :

Le théorème de Pythagore :


Le théorème de Pythagore


La règle 3-4-5, souvent utilisée pour implanter et pour vérifier l’équerrage d’un bâtiment ou d’un objet, elle est l’application concrète du théorème de Pythagore : " dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. "
{AB}^2 = {AC}^2 + {CB}^2} \iff {AB = \sqrt ({AC}^2 + {CB}^2})

  • l’application de la formule avec l’exemple sur l’image :
    {AB}^2 = {AC}^2 + {CB}^2} \iff {AB = \sqrt ({12}^2 + {16}^2}) = \sqrt400= 20
  • application de la formule avec les dimensions 3-4-5 :
    {AB}^2 = {AC}^2 + {CB}^2} \iff {AB = \sqrt ({3}^2 + {4}^2}) = \sqrt25 = 5
    Cette méthode est utilisée pour calculer la longueur d’un pignon qui est égale à l’hypoténuse. Elle permet aussi de déterminer la longueur des chevrons.


La trigonométrie et les angles :

Dans la construction, la trigonométrie et les angles sont utilisés pour :

  • déterminer la pente de la toiture,
  • tracer des formes complexes.

Détermination d’une pente de toiture :


Calcul d’une pente avec la trigonométrie

L’exemple d’un bâtiment avec une toiture à deux versants et une largeur de 14m et une hauteur de pignon de 2m.
Calcul de la pente :
{Pente = \frac{Hauteur\:du\:pignon}{\frac{Largeur\:du\:Batiment}{2}}}
{Pente = \frac{2}{\frac{14}{2}}} = 0,29
On a donc une pente de 0,29 soit 29%, ce qui correspond à la tangente d’un angle.
Détermination de l’angle  : sur un tableau trigonométrique que vous pouvez acheter dans une librairie la tangente tg = 0,29 correspond sur le tableau trigonométrique à un angle de 16°.

Sur notre site il y a un outil qui permet de calculer la pente.


Détermination de la longueur du pignon :

Prenons l’exemple de l’image ci-dessus : un bâtiment de 8m de large avec une pente de 67%. Ci-après les étapes pour calculer la hauteur et la longueur du pignon :

  • Etape 1 : détermination de la hauteur du pignon
    {Hauteur\:du\:pignon = {Pente}\times{\frac{Largeur\:du\:Batiment}{2}}}
    {Hauteur\:du\:pignon = {0,67}\times{\frac{8}{2}} \Rightarrow Hauteur\:du\:pignon = {2,68m}}
  • Etape 2 : Calcul de la longueur du pignon
    Le calcul peut se faire en utilisant le théorème de Pythagore ou la trigonométrie. Vu que le calcul à l’aide du théorème de Pythagore a été effectué précédemment ; on va utiliser la trigonométrie.
    Le tableau trigonométrique indique qu’une pente ou une tangente tg = 0,67 correspond à un angle de 34°. La longueur du pignon va être déterminé avec le sinus de cette angle et avec la hauteur du pignon.
    \sin\theta = \frac{Cote\:oppose}{Hypotenuse}
    avec \theta l’angle de 34°, la hauteur du pignon comme côté opposé et la longueur du pignon l’hypoténuse.
    \Rightarrow {Hypotenuse} = \frac{Cote\:oppose}{\sin\theta}
    {Hypotenuse} = \frac{2,68}{\sin34}\Rightarrow \frac{2,68}{0,559}= {4,79m} donc le pigno[...]
    ...Il y a une suite !


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