Les théorèmes mathématiques et géométriques

jeudi 13 janvier 2022 Bruno, john

Il existe de nombreuses règles et principes mathématiques ; cet article sera consacré à ceux qui servent à déterminer les dimensions et la disposition d’un bâtiment (implantation et mise en forme).

Voici un extrait gratuit du guide de construction :

Le théorème de Pythagore :

Le théorème de Pythagore

La règle 3-4-5, souvent utilisée pour implanter et pour vérifier l’équerrage d’un bâtiment ou d’un objet, elle est l’application concrète du théorème de Pythagore : " dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. "
${AB}^2 = {AC}^2 + {CB}^2} \iff {AB = \sqrt ({AC}^2 + {CB}^2})$

l’application de la formule avec l’exemple sur l’image :
${AB}^2 = {AC}^2 + {CB}^2} \iff {AB = \sqrt ({12}^2 + {16}^2}) = \sqrt400= 20$
application de la formule avec les dimensions 3-4-5 :
${AB}^2 = {AC}^2 + {CB}^2} \iff {AB = \sqrt ({3}^2 + {4}^2}) = \sqrt25 = 5$
Cette méthode est utilisée pour calculer la longueur d’un pignon qui est égale à l’hypoténuse. Elle permet aussi de déterminer la longueur des chevrons.

La trigonométrie et les angles :

Dans la construction, la trigonométrie et les angles sont utilisés pour :

déterminer la pente de la toiture,
tracer des formes complexes.

Détermination d’une pente de toiture :

Calcul d’une pente avec la trigonométrie

L’exemple d’un bâtiment avec une toiture à deux versants et une largeur de 14m et une hauteur de pignon de 2m.
Calcul de la pente :
${Pente = \frac{Hauteur\:du\:pignon}{\frac{Largeur\:du\:Batiment}{2}}}$
${Pente = \frac{2}{\frac{14}{2}}} = 0,29$
On a donc une pente de 0,29 soit 29%, ce qui correspond à la tangente d’un angle.
Détermination de l’angle : sur un tableau trigonométrique que vous pouvez acheter dans une librairie la tangente tg = 0,29 correspond sur le tableau trigonométrique à un angle de 16°.

Sur notre site il y a un outil qui permet de calculer la pente.

Détermination de la longueur du pignon :

Prenons l’exemple de l’image ci-dessus : un bâtiment de 8m de large avec une pente de 67%. Ci-après les étapes pour calculer la hauteur et la longueur du pignon :

Etape 1 : détermination de la hauteur du pignon
${Hauteur\:du\:pignon = {Pente}\times{\frac{Largeur\:du\:Batiment}{2}}}$
${Hauteur\:du\:pignon = {0,67}\times{\frac{8}{2}} \Rightarrow Hauteur\:du\:pignon = {2,68m}}$
Etape 2 : Calcul de la longueur du pignon
Le calcul peut se faire en utilisant le théorème de Pythagore ou la trigonométrie. Vu que le calcul à l’aide du théorème de Pythagore a été effectué précédemment ; on va utiliser la trigonométrie.
Le tableau trigonométrique indique qu’une pente ou une tangente tg = 0,67 correspond à un angle de 34°. La longueur du pignon va être déterminé avec le sinus de cette angle et avec la hauteur du pignon.
$\sin\theta = \frac{Cote\:oppose}{Hypotenuse}$
avec -$\theta$- l’angle de 34°, la hauteur du pignon comme côté opposé et la longueur du pignon l’hypoténuse.
$\Rightarrow {Hypotenuse} = \frac{Cote\:oppose}{\sin\theta}$
${Hypotenuse} = \frac{2,68}{\sin34}\Rightarrow \frac{2,68}{0,559}= {4,79m}$ donc le pignon aura une longueur de 4,79m.

Traçage de forme complexe :

Les polygones réguliers

La trigonométrie sert également à mettre en forme d’une pièce de bois ou à tracer un chalet ou une cabane. En effet, dans un cercle il y a un angle de 360° et il suffit juste de diviser cet angle par le nombre de côté que l’on souhaite obtenir pour déterminer chaque coin du polygone.
Prenons l’exemple :

d’un losange : il a quatre côtés, donc l’angle de 360° devra être divisé en quatre (un losange a quatre côté), ce qui nous donne 90°
d’un ennéagone : il a neuf côtes, l’angle de 360° sera divisé en neuf, pour obtenir 40°.
Ensuite, il suffit de prendre un rapporteur et tracer les angles et les coins du chalet.

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